Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
44 § 14, 15.
dezelfde p(u) behooren, hare som of haar verschil een geheele periode
moet zijn.
Deelt men namelijk de vergelijking 9, 4) door en stelt in
# (a')
het tweede lid voor hare waarde uit de eerste vergelijking 27, 2) en
. ' . . , M, . .
voor ^ ^^^ de analoge waarden-^^^--, zoodat ar = ^^ is, m
de plaats, dan komt er
^ ■
Geven nu en u aan p(u) dezelfde waarde, dan is het tweede lid
gelijk aan nul, en men moet dus hebben
z + a: = m + m of z —ar =:m + m,
of na vermenigvuldiging met 2œ,
u + tij 2w(M( + 2n(o, of u — 2?wa)i + 2n<o,,
waarmede het gezegde bewezen is.
Greldt de laatste van deze twee vergelijkingen, dan is
p'{u)— + p'(u,),
geldt daarentegen de eerste, dan is
p-(u) = - p'(u,).
Is dus bovendien nog gegeven, dat ook p'(u) voor u en dezelfde
waarde aanneemt, dan kunnen u en alleen in geheele perioden ver-
schillen, zoodat ït door de waarde van p(u) en P'(u) op perioden na
bepaald is.
Bij positieven discriminant heeft p(u) reeds alle reëele waarden gehad,
als u de waarden heeft doorloopen, waarvoor het reëele of het imaginaire
deel een halve periode of nul is. Voor alle andere waarden van u moet
p(u) dus complex zijn.
Is de discriminant negatief dan doorloopt p(u) alle reëele waarden
voor reëele en zuiver imaginaire waarden van u. Voor waarden van m,
die niet een geheele periode van reëele of zuiver imaginaire waarden
verschillen, is p{u) dus complex. Men kan dit ook aldus uitdrukken:
p{u) is complex, als het reëele deel of het imaginaire deel van u verschilt
van O of een veelvoud van of ü)^.
32. In het bijzondere geval, dat de discriminant positief is, en dus de e,
e.^ en e, reëel zijn, doorloopt p{u) de waarden van co tot e,, als u de
waarde van O tot co, doorloopt, en deze verandering heeft steeds in
denzelfden zin plaats. Nu is volgens XXV)
^^ = - 2l^{P{u) - e,){p(u) - e,){P{u) - e,),
of als wij p{u) =: t stellen,