Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 11.
zij. Voor a^ mogen wij dus jiemen (^le a van § 1). Welke waarde
wij dan voor \J ^^ moeten nemen behoeven wij voor ons doel niet uit.
te maken. Yoor r nemen wij achtereenvolgens de waarden 0,1,2 enz.
U)t p, en tollen de zoo verkregen vergelijkingen op, na ze alle op de
eerste na met 2 vermenigvuldigd te hebben. Zoodoende vinden wij
j 2 COS 2z + 2 cos 4:z + ...2 cos 2pz)dz =
— 00
4jr2
/ 71^ p^Ji^ \
~7i y 1 + ..
of
_oc Sinz V —a\ /
Nu is volgens een bekende formule van Dirichlet
+2f{s,t)\. (;. = oo) 2)
wanneer s het grootste geheele getal voorstelt, dat in bjji begrepen is, en
/{z) eene functie, die doorloopend is en niet oneindig veel maxima en
minima heeft tusschen twee op elkaar volgende veelvouden van 7t. Laat
+ ....
Vervangt men mi t door eene complexe waarde wier modulus kleiner dan 1 is,
dan kan de ontwikkeling van beide leden Volkomen op dezelfde wijze geschieden,
en de coëfficiënten in beide reeksen zullen volkomen dezelfde blijven. Hieruit ziet
men, dat, ook als t complex is met een modulus kleiner dan de vergelijking a)
blijft gelden.
+ 00
Is nn in / e~^^^ cos "Irz dz
— x
ß een complexe grootheid met positief reëel gedeelte, dan kan men stellen
ß — a{\ H-p + vOj waarin a een positieve grootheid is, die steeds zoo kan gekozen
worden dat is. Immers zij ß = ßt ißi dan is
ßx . _ _
P = q =
dus + = 1 —
a a^'
Daar volgens onderstelling positief is, kan a zoo groot genomen worden, dat
het tweede liil van deze vergelijking kleiner dan 1 wordt. Dan heeft men dus
volgens het bewezene
+ X +00
le-P'\os'2rzdz = ƒ + ni>\os<lrzdz =
— x — x

= yj a{\+l, + qi) " + l> + = \t ' ^