Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 11.
11. Men heeft de bekende formule
+ 00
ƒ e ^^^^ = ( « ) ,
die ook voor complexe a geldt*), mits het reëele deel van positief
De vergelijking
+ » Ir
t " cos 2rz dz =-e
a
-00
vindt men in meest alle leei-boeken van integraalrekening bewezen voor reëele a.
Minder algemeen treft men liet bewijs aan voor het geval dat a complex is. De
vergelijking geldt echter ook voor dat geval mits a- een positief reëel gedeelte liebbe.
Vervangen wij a door en laat voorloopig deze nienwe a een positief getal
voorstellen. De vergelijking wordt dan
+ 00
ƒ e cosirzdz — A/-— e
— 00 ' "
Vervangen wij a door a(I -f- dan wordt dit
. )"-«(! + = A ^^ + n)
\ « + /
Is t kleiner dan 1, dan laten zich beide leden in convergeerende reeksen naai- de
machten van l ontwikkelen. Voor het eerste lid knnnen wij namelijk schrijven

i
......, al.
1.2
+ x
— »
Deze integraal heeft voor alle waarden van z en n een ein<Hge bepaalde waanle,
zoodat
«C + co,, 2rz = Q„ - ^Q. + - en...
is.
— —Cl A —1
Voor e a kan men schrijven
Is t <i dan kan men de machten van 1 + t volgens de forninle van het bino-
mium ontwikkelen, en hierdoor ontstaat een onvoorwaardelijk convergeerende
«Inbbelreeks, die naar de machten van t gerangschikt kan worden en zoo een
onvoorwaardelijk convergente machtreeks oplevert.
Ook de factor (1 + () levert bij ontwikkeling zulk een machtreeks op en
het product van deze beide reeksen wordt wederom znlk een machtreeks. Do beide
leden van a) kunnen dns voor t < \ in reeksen naar de macliten van t ontwikkeM
worden, en daar deze reeksen dus, althans voor positieve waarde van t tusschen
O en 1 gelegen, hetzelfde voorstellen, moeten hare coëfficiënten dezelfde zijn. Men
heeft voor deze waanlen van t dus ook