Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 110, 117. _ 181
Is u zuiver imaginair en dus p{u) < e^ dan zijn al de drie wortels in
51,2) negatief imaginair, als wij u tusschen Ü en cu, aannemen, zoodat
wij voor die vergelijking kunnen schrijven
{< - PM) = 'I, I 1/ (e, - Pin)) + IX {c, - P{u)) 1. 1)
Voor sm' ^^ vindt men dan een negatieve waarde.
- Is P{u) tusschen e, en e^ gelegen, dan kunnen wij voor u een waarde
aannemen gelijk aan w, + u' (u imaginair en tusschen O en co, gelegen).
De wortels zijn dan weer alle positief, en de leden van 180,7) worden
positief en grooter dan 1.
Ligt eindelijk p{u) tusschen e, en e^ dan zouden de leden van 51, 2)
complexe waarden aannemen. Om deze complicatie te ontgaan, berekene
men eerst door middel van de vergelijkingen XXIX) de waarde van p{u — roj),
en berekene dan de reëele waarde van u — co^, die tot het eerste geval
behoort.
136. Neemt men bij de tweede transformatie van § 38 de = 4, dan
blijft bij die transformatie de fOj onveranderd, terwijl de o», verdubbeld
wordt, de ii!" wordt gelijk aan 2m, en vervangen wij in 51,5) de 2u door
M, dan hebben wij
{PM) - < ) = i {P(U) 2)
Past men deze transformatie herhaaldelijk toe, dan nadert ij' tot O, dus
(/ tot 1, en als ij' zoo klein geworden is, dat zij verwaarloosd mag worden,
heeft men met het tweede ontaardingsgeval te doen. De vergelijkingen
51, 3) of nog beter
e, — '/^Éj, fij Cj — «3
geven dan telkens de nieuwe e, terwijl de nieuwe p(u) uit 51, .5) gevonden
wordt.
Is het ontaardingsgeval nagenoeg bereikt, dan vindt men u uit 31,5),
die geschreven kan worden in den vorm
■ , ■ O . , uji 3e,
sttr t«|/3e, = stttr -=-tt-t. 3)
' 2(03 ^ Pi^*)
Voor p{u) > e, hebben de leden van deze vergelijking een negatieve
waarde, voor p{u) < e3 of e3 < p{ii) < e, een positieve, die in het eerste
geval kleiner, in het tweede grooter dan 1 is. In het geval e, < P{m) < e,
zou die waarde complex worden, maar dit vermijdt men liever, door de
wajirde van tt — c/j, te berekenen.
In het algemeen zal men bij voorkeur tot de vergelijking 180, 7) trachten
te komen, als u of haar veranderlijk deel reëel, tot de vergelijking 3)
als u of haar veranderlijk deel imaginair is. Alleen wanneer in het eerste