Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
158 § 100.
107. Wij maakten tot nog toe geenerlei onderstelling omtrent het al
of niet reëel zijn der coefficienten A. Nemen wij nu aan, dat zij reëel
zijn en onderzoeken wij, voor welke waarden van u zoowel x als y reëel
zullen zijn. Wij hebben daarbij in de eerste plaats onderscheid te maken
tusschen het geval van den positieven en dat van den negatieven discri-
minant. In het eerste geval kan m, zoowel reëel als van den vorm m', + m,
(m'j reëel) zijn.
Ten einde idt te maken, welke van de twee gevallen zich voordoet,
merken wij op, dat P"(m) slechts voor twee waarden van p(u) gelijk aan
nul kan worden, en uit het verloop der functie p'(u) is het duidelijk, dat
een van die waarden tusschen e, en Cj, en een tusschen e, en e^ ligt.
Is M, reëel, dan is zoowel p{u,) als p"{u,) positief. Is negatief, dan
zal, als Ml een imaginair gedeelte (o, heeft, P(m)'negatief zijn. Is echter e,
positief, dan kan ook p{u) positief wezen, maar wij gaan aantoonen, dat
dan noodzakelijk p"{u) negatief moet zijn. Voor u = a), is namelijk
p"(u) = Ge,' — = 2(e, — e,) (e^ — e^), dus negatief en voor p{u) = O is
p"(u) = — , wat bij positieven discriminant ook negatief is. Zoolang
dus p{u) tusschen e, en O ligt, blijft P"{u), die tusschen p(u) = 62 en p{u) = 0
niet meer dan eenmaal van teeken kan veranderen, negatief. Is dus m,
van den vorm m, +m', , dan zijn p(u,) en P"(m,) steeds beide of een van
beiden negatief.
Bij negatieven discriminant kan Mj steeds reëel genomen worden. Wij
hebben dus drie gevallen te onderscheiden:
1". De discriminant is positief, m, is reëel.
2». De discriminant is positief, m, heeft m^ als imaginair gedeelte.
3°. De discriminant is negatief.
Is in het eerste geval x een reëele grootheid, dan voldoen aan de ver-
gelijking 141,2) blijkens het gevondene in § 35 twee waarden van m, en,
als men op verschillen van geheele perioden niet let, niet meer dan twee.
Is een van de waarden van m complex, dan moet de andere haar ge-
conjugeerde zijn, of beide moeten 0J3 tot imaginair gedeelte hebben.
Immers is m, reëel en heeft
p\u) - P'(m,)
p(m)-p(m,)
een reëele waarde, dan moet die waarde dezelfde blijven, als men 71
door hare geconjugeerde vervangt. Verschilt het imaginaire deel van u van
0)3, dan zijn de beide waarden van m, die bij een reëele x behooren dus
geconjugeerd. Hare som is — m, of verschilt er een geheele periode mede,
zoodat beide van den vorm — +v of co, — + v zijn, waarin v
zuiver imaginair is. Heeft een van de waarden van ti tot imaginair gedeelte