Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
132 § 128, 129. ■
of na invoering van de waarden van Q en van en na herleiding,
dh / d.h
dP _ / dP
h
_ 4 3 23 _1 _36.P-41J+32
~ 9J' 8(J - 1)' 72 J(J -'l) - 72J(J - 1) ■ '
dz " l dz
dl \ dS /
Dit is dus een differentiaalvergelijking van de derde orde, waaraan
voldoen alle periodenverhoudingen eener bij J behoorende functie P(u),
maar tevens al de periodenverhoudingen van die functiën p{u), die uit de
eerste door transformatie van onverschillig welke orde ontstaan. Het eerste
lid is wat men noemt de Schwarzsche afgeleide van r ten opzichte van J.
102. Zoo als wij reeds opmerkten, is 122,3) een partiëele diiïerentiaal-
vergelijking, waaraan beschouwd als functie van drie veranderlijken,
bijv. u, g, en g^, moet voldoen. Zij kan dienen om de coëfficiënten van
de reeks naar de opklimmende machten van u te bepalen, waarin
natuurlijk ontwikkelbaar moet zijn. Zij die reeks
aj^u) = 1 + ky + A^u* + AjM® + ....
en substitueeren wij haar in 122,3). Wij vinden dan, als wij alle termen
naar het eerste lid overbrengen en naar de machten van u rangschikken.
Al + + + 2.3A, + + ....
+ m»(DA„ + {n + 1) (2H + 1)A„+, + + + .... = 0,
en dus vooreerst
2)
en verder
DA„ + n—1
= (M+l) (2/^+1) •
Do recurreerende betrekking 3) stelt ons in staat de coëfficiënten
A,, A3 enz. te berekenen. Om die berekening te vereenvoiuligen is het
goed haar in een eenigszins anderen vorm te brengen. Vooreerst noemen
wij D' de bewerking, die uit D ontstaat door e^ als constant te beschouwen,
dA
zoodat DA,i = D'A,( +('/3if2 waardoor de vergelijking 3)
overgaat in
D'An + ~ - 2e„') + 'ke^An +
~ («+ 1)(2m+ 1) •
Verder is het duidelijk, dat A» een tweedemachtsvorm in e^ is, als
men telkens de derde en hoogere machten van e^ doet verdwijnen door
middel van de betrekking