Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 3.
= 2q'l" + + + . . . = 2qS\ + + + + •
= 1 + + 27» + ......
= 1 - 23 + 27» - ......
= 271(9- 3//'' + óï''/''...) = 2jiql'(l~-Sq ' + Iq' * + . . .).
3. Het product van oneindig veel factoren
T{z) = n(l + e'^' ! - ^)r + I + j (2r - Dr - 2z j ) _
= n(H- - ^ e(1 + ) =
VI)
= n(l + ' COS 2zn + q"''
ir —
(r = 1.2 ... 00)
is convergent voor alle waarden van z, als t en dus ook q de vroegere
beteekenis liebben. Men bewijst dit gemakkelijk door de reeks door
de logarithmen der factoren 1 + 2q'^''~ ^ cos 2zn + q'" ^ gevormd aan
het gewone convergentiekenmerk te toetsen.
Dit product T{z) heeft ten opzichte van de periodiciteit dezelfde eigen-
schappen als de functie ê{z), en wordt gelijk aan nul voor dezelfde
waarden van x, waarvoor ook &[z) verdwijnt.
Als men namelijk met 1 vermeerdert, blijft het onveranderd, en
vervangt men « door z + t, dan heeft men
T{z + r) = 11(1 + 1 (2'- + + j + j (2,-3). -2z j j ^
H-e^
.m(T + -2z)

2/1 + 1 2v + 1
Stelt men eindelijk « = ---H--^-t, dan verdwijnt, als v posi-
tief of nul is, de factor 1 e''« ——j .^v^arvoor r = r + l en,
als j' negatief is, de factor 1 e^'! ! waarvoor r~—v is.
Het vermoeden ligt nu voor de hand, dat deze functie ^Xz) van d{z)
slechts in een constanten factor verschilt. Wij gaan bewijzen, dat dit
wei'kelijk het geval is.
Stellen wij daartoe
<fiy) = (1 + 9»/)(l + + l^y) • • • • inf.,
welk product voor alle waarden van y convergeert, wanneer, zooals iiier
het geval is, Mod < 1 is. Vervangen wij y door q^y, dan komt er
vi'i'v) = (1 + + + i'y) ■ • ■ •.
dus
95(2/) = (1 + iy) (p{<i^y)-
Het is duidelijk, dat het product (p{y) in een reeks volgens de
opklimmende machten van y ontwikkelbaar is, aldus:
y — \-{- A,?/ -1- Aj//' + Aj?/^ + enz.