Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 88, 8Ö. 111
gelijke voorkomen, dan kan men dit geval opvatten als de limiet van het
algemeene geval voor het geval dat eenige der verschillen tusschen de
v^ verdwijnen. Noemen wij de te ontbinden functie (p{u) en laten U^ de
elementaire functiën en Q^ hare coëfficiënten in de ontbinding voorstellen,
dan is
Een r tal onder de v^ denken wij ons veranderlijk, maar zoo dat haar
som onveranderd blijft, en stellen v^l^—a + h^l, v^'.^., = a + ....
r-i = « + -lA, waarbij b^ + b, + .... _i = O ondersteld wordt.
Laten wij X tot nul naderen dan worden r van de termen Q^ U^ oneindig
groot, maar daar zoowel q){u) als de andere termen van het tweede lid
eindig blijven, moet de som der oneindig wordende termen eindig blijven.
Schrijft men voor a(aX) in de plaats waaraan de tweede factor een
eindige limiet heeft, en brengt men al de oneindig wordende termen
Q^ U^ onder een gemeenschappelijken noemer, dan bevat die noemer, be-
halve eindig blijvende factoren, X''- '. De teller wordt een lineaire fimctie
van U^, .... — U^ + r-I- Door teller en noemer van deze breuk
r—\ maal te differentieeren ten opzichte van X en dan A = O te stellen
verkrijgt men nti de limiet, waartoe de som der oneindig wordende termen
voor A = O nadert. Deze limiet zal dus eene lineaire functie worden van
IJ^ en hare r — 1 eerste afgeleiden ten opzichte van X. Maar de afgeleiden
van U^ ten opzichte van A, verschillen slechts in een factor van de af-
geleiden naar u. Wij komen dus tot het besluit, dat, als r der waarden
v^ gelijk zijn, in de ontbinding van de gegeven functie naast de elementaire
functie U^ ook hare r — 1 eerste differentiaalquotienten naar u voor-
komen.
89. Bij het bepalen van de coëfficiënten in den ontbonden vorm kan
men op volkomen dezelfde wijze te werk gaan als bij de integratie eener
rationeele functie van p(u) en p'(u), zooals wij dat in § 75 en § 7G hebben
uiteengezet. De elementaire functiën bevatten namelijk in hare ontwikkeling
naar de machten van u — v^ ieder één term met negatieven exponent
nameliik —^^—7. De afgeleide van U bevat slechts den term ^ , ^^
J u-v^ ® f^ (u-v^Y
en verder alleen eindig blijvende termen. Ontwikkelt men nu de te ont-
binden functie volgens de machten van u — v^, dan zal deze ontwikkeling
zooveel negatieve machten bevatten, als het aantal malen dat de factor
o{u — v^) voorkomt bedraagt, en door vergelijking der coëfficiënten worden
de coëfficiënten der verschillende ontbindingselementen gevonden.
Een enkel eenvoudig voorbeeld moge ter opheldering volstaan. Zij in
elementen te ontbinden