Boekgegevens
Titel: Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Auteur: Boer, Floris de
Uitgave: Groningen: J.B. Wolters, 1899
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: Obr. 2427
URL: https://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_200008
Onderwerp: Wiskunde: functies van meerdere complexe variabelen
Trefwoord: Elliptische functies
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopte elementaire theorie der elliptische functiën
Vorige scan Volgende scanScanned page
§ 81, 82. 99
81. De laatste vergelijking is een bijzonder geval van de bekende
stelling van Abel. Dit bijzondere geval kan hier aldns worden geformu-
leerd. De som der waarden van u, die een geheele rationeele functie
van p{u) en p\u) doen verdwijnen, is altijd gelijk aan een periode.
Hierbij moet van de waarden van m, die geheele perioden verschillen,
er slechts een in rekening gebracht worden. Heeft eciiter de vergelijking, die
men verkrijgt door p'(u) in p{u) uit te drukken, de uitkomst gelijk aan
nul te stellen en de wortelteekens te verdrijven, gelijke wortels, dan
moeten de aan die wortels beantwoordende waarden van u zooveel keer
worden medegeteld, als de daaraan beantwoordende waarde van p[u) als
wortel in de vergelijking voorkomt. Daar de u^^ slechts op perioden na
bepaald zijn, kan men ze zoo kiezen, dat hare som gelijk aan nul wordt.
Dan zijn vi en m beide gelijk aan nul en verdwijnt ook B, zoodat wij
hebben
o{u — ) a(M — Mj)... a{u — u^)
Een gebroken rationeele functie van p{u) en p\ii) kan steeds als het
quotiënt van twee geheele functiën worden opgevat. Is nu cp zulk oen
fimctie, waarvan de teller van den graad de noemer van den graad
Jw is, dan is
a{u — u.) ö(m — o(m — uj)
<p=o , - v-4—^——^«(«r-", 2)
waarin , m, enz. de waarden zijn, die den teller, en enz. de
waarden, die den noemer doen verdwijnen. In de zooeven geformuleerde
stelling zouden wij nu het woord „geheel" kunnen weglaten, en achter
„doen verdwijnen" kunnen invoegen de woorden „of oneindig groot
maken", ware het niet, dat de mogelijkheid bestond, dat sommige van
de geaccentueerde u^ gelijk waren aan niet geaccentueerde, zoodat in het
tweede lid van 2) enkele factoren van den teller, tegen evenveel
factoren van den noemer wegvielen. Op het verschil der sommen
M, + M.^ +____en M,' + Mj' + ... heeft dat wegvallen echter geen invloed,
zoodat wij de stelling aldus kunnen lezen: De som der waarden van u,
die een rationeele functie van p{u) en p'{u) doen verdwijnen, verminderd
met de som der waarden van u, die dezelfde functie oneindig groot
maken, is steeds een periode, en kan zoo gekozen worden, dat dit
verschil gelijk aan nul is.
82. Het omgekeerde van de bewezen stelling is ook waar. Heeft men
namelijk een uitdrukking van den vorm
a(u — M,)a(M — Mj)... a(u — uj
7*