Boekgegevens
Titel: Beknopt leerboek der planimetrie
Auteur: Kamp, H. v.d.
Uitgave: Groningen: P. Noordhoff, 1894
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: IWO 682 G 43
URL: http://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_203584
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Planimetrie, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopt leerboek der planimetrie
Vorige scan Volgende scanScanned page
63
Daar liet oppervlak van het vierkant, dat AB tot zyde heeft, AB^ is,
hebben we hierin ook een middel oui een vierkant te construeeren, dat
gelijk is aan de som of het verschil van twee gegeven vierkanten.
Tig. 85.
Wanneer we in een willekeurigen
driehoek (fig. 85) eene hoogtelijn
teekenen, ontstaan er twee recht-
hoekige driehoeken, waarvoor dus
het theorema van Pythagoras gelAt:
AB2==BD2 +AD''
BD2 = BC2 — CD2
dus AB2rr:BC2 —CD^-I-AD2 =
BC^ — CD2 4- (AC — CD)2 =
= BC2 —CD2-i-AC2 —
— 2AC X CD + CD'^ =
= iiC'2 + AG-' — 2AC X CD.
Noemen we de zyden a, b en c
naar hare tegenoverliggende hoek-
punten A, B en C, dan wordt de gevonden formule:
= a'^ b^ — 2b X de projectie van a op b.
Door de hoogtelgnen uit A op BC te trekken en weer AB^ te berekenen,
zouden we gevonden hebben
c^ = a''^ 4" b"^ — 2a X cfe projectie van b op a.
Wanneer de zgde c tegenover een stompen hoek staat, wordt in de
beide formules bet teeken —, vóór den derden term van het tweede lid der
gelijkheid, in veranderd.
In fig. 86 is = AD» =
= BC2 — CD2 -f- AD^ =
^ BC'^ — CD^ 4- (AC -f CD)2 =
CD2-1- AC^-I- 2AC X CD -f CD«=
= BC^ 4- AC^ 4- 2AC X CD of:
c^ = a^ b^ 4" 2b X de projectie van a op b.
Hadden we de loodlgn lüt A op BC
neergelaten en uit de daardoor ontstane
rechtlioekigo driehoeken AB^ berekend,
dan hadden wo gevonden:
= d^ 4~ ^^ 4~ 2a X de projectie van b op a.
We hebben dus nu bewezen:
LXXm. Stelling. Wanneer eene zijde a van een drielioeh tegenover een
»eherpen hoek staat, geldt de formule:
o'' = b'^ 4~ — 26 X de projectie van c op è
of a^ = c"^ — 2c X de projectie van b op c.
Staat a tegenover een stompen hoek, dan wordt de formule:
a^ = !)'■ c^ 4" 25 X de projectie van c op 5
of d^ = b'^ 4~ "i" 2c X de projectie van b op c.
mg. 86.