Boekgegevens
Titel: Beknopt leerboek der planimetrie
Auteur: Kamp, H. v.d.
Uitgave: Groningen: P. Noordhoff, 1894
Auteursrechten: Zie auteursrechten
Citeerinstructie: Bijzondere Collecties van de Universiteit van Amsterdam, UBM: IWO 682 G 43
URL: http://schoolmuseum.uba.uva.nl/bookid/LCSM_203584
Onderwerp: Wiskunde: meetkunde: algemeen
Trefwoord: Meetkunde, Planimetrie, Leermiddelen (vorm)
Bekijk als:      
Scan: Afbeeldinggrootte:
   Beknopt leerboek der planimetrie
Vorige scan Volgende scanScanned page
54
LIX. Stelling. Tioee drielioelcen zijn gelijkvormig, als ze twee zijden even-
redig en een hoek tegenover één dier zijden gelijk hebben, mits die tegenover de
andere der evenredige zijden gelijksoortig zijn.
Geg. AB : cé = AC ac, L G — L c. Z_ B gelijksoortig met L b.
ïe bewijzen: Z_ A =: /_ a en B = 4.
Bewijs (fig. 71). Maak iD = BA en trek DE // ac, dan is L éED
l_ c — , verder SD : ba — DE : ac of AB : ab = DE •. ac, en volgens
het geg. AB : ab = AC : ac,
dus DE = AC.
Dus AABC^AiDE (XLIV), enz.
§ 35. LX. Stelling. Twee veelhoeken zijn gelijkvormig, wanneer ze de
zijden op één na evenredig en de door de evenredige zijden gevormde hoeken
gelijk hebben, mits deze elementen in beide op ilezelfde wijze aan elkaar sluiten.
Geg. (fig. 72). AB:aS = BC:Sc = CD:c(Z = DE:de.
L ABC = L abc, L BCD = L bed en L CDE = L ede.
Te bewijzen: ABCDE cvj abcde.
Bewijs. A ABC cx) A abc (LVIII), dus L BCA = L bca.
A CDE ~ A ede (LVtlI), dus L ECD = L eed en daar L BCD = L bed,
moet ook het verschil tusschen L BCD en de som van L BCA en L ECD
gelijk zijn aan het verschil tusschen L bed en de som van l_ bca en L eed,
dus L ACE z= l_ ace
en daar AC : ac = BC : bc en CE : ce = CD : cd en BC : Sc = CD : cd,
is AC : ac = CE : ce, dus
A ACE tv; A ace (LVIII) en ABCDE <v. abcde.
De bewijzen der volgende stellingen worden aan den leerling overgelaten:
LXI. Stelling. Tivee veelhoeken zijn gelijkvormig, wanneer ze de hoeken
op een na gelijk hebben en de zijden op twee opeenvolgende na evenredig,
mits deze elementen in beide op dezelfde wijze aan elkaar sluiten.
LXII. Stelling. Twee veelhoeken zijn gelijkvormig, wanneer ze alle zijden
evenredig en de hoeken op drie opeenvolgende na gelijk hebben, mits de ele-
menten in beide op dezelfde wijze aan elkaar sluiten.
LXIII. Stelling. De omtrekken van twee gelijkvormige drie- of veelhoeken
verhouden zich als een paar gelijkstandige zijden.
Het bewijs wordt geleverd door op de aaneengeschakelde evenredigheid
der zijden de bekende eigenschap toe te passen, dat de som van alle voor-
gaande termen staat tot de som aller volgende termen gelijk een voorgaande
tot zijn volgende.
In de stellingen over de gelijkvormigheid der veelhoeken en bij de defi-
nitie dier gelgkvormigheid werden steeds 2n — 4 onderling onafhankelijke
gelijkheden gegeven, n.l.: Wanneer n — 2 driehoeken gelijkvormig zijn
met n — 2 andere, dan zijn dit («—2) X 2 gelijkheden, want de gelijk-
vormigheid van twee driehoeken volgt uit de gelijkheid van twee hoeken,
óf die van ééne hoek en eene evenredigheid, óf uit de gelijkheid van drie
verhoudingen, d. i. twee onderling onafhankelijke gelijkheden.